1÷３＝1/3というのは1つのケーキを三等分した量が1/3という感じで理解しやすいけれど、
1÷1/3＝3になる？！というのは、えっ？どういうこと？ってなりやすいですね。
でも、そういうものだよ、ということで進んで行きますね。
-3×-3＝＋9というのも、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるの？！となりやすいですね。
それ以前に、マイナスってどういうこと？っていうことすらありますよね。
そもそも14世紀以前くらいまで遡ると、多くの国や地域でマイナスになる数というものは存在しない、という考えが圧倒的に一般的だったようですから。
円周率πも、ただの円周÷直径なのに、数値として表現すると無限に小数点が続いて、実際に数値として円周や円の面積を出そうとすると、どこまでも近似でしか出せないという不思議。
高校数学になると、モヤモヤとしか理解できない数学的な概念が増えていき、嫌気がさしてきたりしますが、小学校の頃から少しずつ、モヤモヤは始まっています。
今回は、数学というツールや、数という概念について、出来るだけスッキリさせていく授業にしたいと思います。
テーマ1 分数で割るってどういうこと？
6つある飴玉を3人で均等に分配する、これを数学という言葉で書くと、
６÷３と書きます。その計算結果は、2ですね。
これは、日本語でも「割る」という言葉を使っているように、元々の意味合いからすると、６を3つに分割するというイメージが強いので、そこからすると、1/3で割るという数学的なシチュエーションを作ると、1以上の量でしか分割は出来ないよね？みたいになって、意味が掴みにくくなるわけです。
この６÷３ を数学的な意味合いで解釈し直すと、
飴玉6個という数量を、3人という数量で測ると1人あたり2個 （2個/人）ある
という意味になります。
この例では人間を使ったので、1以下に分割できない、一つの秩序によって存在し得る存在である人間であるから、この算出は出来なくなりますが、
1以下の状態でも存在し得る存在に置き換えて考えれば、可能になります。
例えば1/2で割る、というのは、1/2センチというのは存在し得るので、問題なくなります。
6センチというのは、1センチが6つあって6センチ
6センチを3センチで割るというのは、6センチの中に3センチがいくつ存在するか、という意味になり、6センチ÷3センチ＝2となります。
では、6センチ÷1/3センチ、というのは、6センチの中に1/3センチがいくつ存在するか、という意味になり、1センチに3つ、6センチだと18存在するということになるので、
6÷1/3＝6×3と同じで＝18になるという解釈です。
これは分数での割り算の一例を感覚的に理解できるために具体例にした見方です。
もう一つ、より数学的に理解しやすい考え方としては、
割られる量と割る量の双方を同じだけ大きくしても、その比率は変わらないという観点で、6センチも3倍して18センチバージョンで見る、1/3も3倍の1センチバージョンで見るという3倍拡大バージョンがあります。
この場合、18センチ÷1センチと同じ結果になるという前提から、18÷1＝18が出ますね。
割り算を掛け算に変換するというのは、この見方と同じことをやっているわけです。
これでだいぶ分数で割るという意味が、スッキリ理解できてきたのではないでしょうか？
テーマ２ 負数と負数を掛け算すると正数になる
例） ー3×ー2＝＋6
そもそもマイナス3って何？！っていう面もありますが、現代社会に生きる我々にとっては気温がマイナス3度とか聞きなれているので、そこはあまり抵抗がないかもですね。
これすらも昔の人には直感的な理解が難しかったところです。
昔の人にとって世界は絶対的だったというのが一つの要因です。
アインシュタイン博士が相対性理論を打ち出して、世界は絶対的には見られない、そして量子力学等の発見から益々絶対的な認識論が崩れていく中で、我々はマイナスの概念を受け入れやすくなっています。
しかし、数学を現実の具体例に当てはめて考える時に、大切なことは、全てのケースが当てはまるわけではないという前提を持っておくことです。
例えば、一人の人と言う存在は、極めて絶対的に位置付けられるものです。一人の人が生命体として成立するだけの秩序だった集合になって始めて存在が現れる、その地点を1とすることが出来るので、その1という地点は絶対的な意味合いが強くなります。
見方を変えればマイナス3人にも見えるし、3人にも見える、なんてことはありませんね。
気温でも絶対零度という理論上の
そして、マイナス×マイナスをするとプラスになる！？っていうところは、未だに多くの人が直感的に？が点灯するものと思います。そんな状況を普段目にすることがないので、当然実感がわきませんよね。借金もしまくれば、金持ちになる！なんてことは無いので。
1÷1/3＝3になる？！というのは、えっ？どういうこと？ってなりやすいですね。
でも、そういうものだよ、ということで進んで行きますね。
-3×-3＝＋9というのも、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるの？！となりやすいですね。
それ以前に、マイナスってどういうこと？っていうことすらありますよね。
そもそも14世紀以前くらいまで遡ると、多くの国や地域でマイナスになる数というものは存在しない、という考えが圧倒的に一般的だったようですから。
円周率πも、ただの円周÷直径なのに、数値として表現すると無限に小数点が続いて、実際に数値として円周や円の面積を出そうとすると、どこまでも近似でしか出せないという不思議。
高校数学になると、モヤモヤとしか理解できない数学的な概念が増えていき、嫌気がさしてきたりしますが、小学校の頃から少しずつ、モヤモヤは始まっています。
今回は、数学というツールや、数という概念について、出来るだけスッキリさせていく授業にしたいと思います。
テーマ1 分数で割るってどういうこと？
6つある飴玉を3人で均等に分配する、これを数学という言葉で書くと、
６÷３と書きます。その計算結果は、2ですね。
これは、日本語でも「割る」という言葉を使っているように、元々の意味合いからすると、６を3つに分割するというイメージが強いので、そこからすると、1/3で割るという数学的なシチュエーションを作ると、1以上の量でしか分割は出来ないよね？みたいになって、意味が掴みにくくなるわけです。
この６÷３ を数学的な意味合いで解釈し直すと、
飴玉6個という数量を、3人という数量で測ると1人あたり2個 （2個/人）ある
という意味になります。
この例では人間を使ったので、1以下に分割できない、一つの秩序によって存在し得る存在である人間であるから、この算出は出来なくなりますが、
1以下の状態でも存在し得る存在に置き換えて考えれば、可能になります。
例えば1/2で割る、というのは、1/2センチというのは存在し得るので、問題なくなります。
6センチというのは、1センチが6つあって6センチ
6センチを3センチで割るというのは、6センチの中に3センチがいくつ存在するか、という意味になり、6センチ÷3センチ＝2となります。
では、6センチ÷1/3センチ、というのは、6センチの中に1/3センチがいくつ存在するか、という意味になり、1センチに3つ、6センチだと18存在するということになるので、
6÷1/3＝6×3と同じで＝18になるという解釈です。
これは分数での割り算の一例を感覚的に理解できるために具体例にした見方です。
もう一つ、より数学的に理解しやすい考え方としては、
割られる量と割る量の双方を同じだけ大きくしても、その比率は変わらないという観点で、6センチも3倍して18センチバージョンで見る、1/3も3倍の1センチバージョンで見るという3倍拡大バージョンがあります。
この場合、18センチ÷1センチと同じ結果になるという前提から、18÷1＝18が出ますね。
割り算を掛け算に変換するというのは、この見方と同じことをやっているわけです。
これでだいぶ分数で割るという意味が、スッキリ理解できてきたのではないでしょうか？
テーマ２ 負数と負数を掛け算すると正数になる
例） ー3×ー2＝＋6
そもそもマイナス3って何？！っていう面もありますが、現代社会に生きる我々にとっては気温がマイナス3度とか聞きなれているので、そこはあまり抵抗がないかもですね。
これすらも昔の人には直感的な理解が難しかったところです。
昔の人にとって世界は絶対的だったというのが一つの要因です。
アインシュタイン博士が相対性理論を打ち出して、世界は絶対的には見られない、そして量子力学等の発見から益々絶対的な認識論が崩れていく中で、我々はマイナスの概念を受け入れやすくなっています。
しかし、数学を現実の具体例に当てはめて考える時に、大切なことは、全てのケースが当てはまるわけではないという前提を持っておくことです。
例えば、一人の人と言う存在は、極めて絶対的に位置付けられるものです。一人の人が生命体として成立するだけの秩序だった集合になって始めて存在が現れる、その地点を1とすることが出来るので、その1という地点は絶対的な意味合いが強くなります。
見方を変えればマイナス3人にも見えるし、3人にも見える、なんてことはありませんね。
気温でも絶対零度という理論上の
そして、マイナス×マイナスをするとプラスになる！？っていうところは、未だに多くの人が直感的に？が点灯するものと思います。そんな状況を普段目にすることがないので、当然実感がわきませんよね。借金もしまくれば、金持ちになる！なんてことは無いので。
