どうもこんにちは～モリモリこと毛利康聖です～
今回は4月9日に投稿した数学の問題の解答、解説をしていきたいと思います。
ちなみに答えは
解:破れたページは25ページ目と26ページ目
になります。
今まで投稿された問題の中でもかなり難しい方に入る問題だと思います。
ただ、
計算自体は難しくなく、右側のヒント「総和の計算」を使えれば恐らく中学生でも解くことができる問題だったと思います。
この問題で難しい点は2点！
1.「とりあえず」で文字を置き換える必要がある点
2.情報量が少ない中でどう計算を進めていくか
にありました。
さあこの2点を注視しながら一緒に解いていましょう。
＊「/」は分数を表す 例:2分の1→1/2
それでは解説していきます！
1枚だけ破られたページ。
「1枚」の裏表には連続した数のページ番号が存在するはずです。
とりあえず、「破れたページ番号」を「x-1」「x」としましょう。
たとえば破れた1枚が「3ページ目」「4ページ目」だったら、「x-1」は3、「x」は4です。
つぎに、「この本の全ページ数」 が必要になります。
とりあえず、「本の全ページ数」を「N」とします。
それでは文字の関係を整理していきましょう。
本の全ページ数：
𝑁
本の全ページ番号：
1,2,3,…,𝑁
本の全ページ番号の合計値：
1+2+3+…+𝑁=1/2N(𝑁+1)
破れていないページ番号を合計すると15000になる：
1/2𝑁(𝑁+1)–𝑥–(𝑥–1)=15000
さて、この時点で分からないのが「N」と「x」。
これでは式を解くことができません。
どうしましょう？
破れたページ番号は、全ページ番号の合計数よりずっと小さいはずです。
なので、とりあえず破れたページ番号は考えずに「本の全ページ数」を推定してみましょう。
そうすると、
本の全ページ番号を合計するとだいたい15000になる
1/2𝑁(𝑁+1)≒15000
N(𝑁+1)≒30000
N・N≒30000
𝑁≒173.2
力づくでしたがなんとか出すことができました。
恐らくこの本は全部で173ページか174ページの本です。
ということで、
173ページの場合と174ページの場合で破れたページを求めていきます。
まず、
全ページ数が「174ページ」だとすると、𝑁=174なので、
1/2(𝑁+1)=15225
ご覧のように「全ページ番号の合計数」は15225になります。
そして「破れたページ番号の合計」は
15225–15000=225
ここから、
𝑥+（𝑥–1）=225𝑥=113
つまり破れたページ1枚は、112ページ目と113ページ目！
といきたいところなんですが！！
残念ながらそう上手くはいきません。なぜなら、
通常、本というのは1ページ目から始まり、その裏が2ページ目になります。それで1枚です。
{奇数ページ}の次に{偶数ページ}が来ます。
ところが「112ページ」と「113ページ」のペアでは、{偶数ページ}の次に{奇数ページ}がくるため、ページが2枚に及んでいることになってしまうからです。
問題文の解答にも少しヒントがありましたね。
ということでこれは問題の前提から外れます。
すなわち本の全ページ数は174ページではありません。
残された可能性は全ページ数が173ページである場合。
同様に計算していくと、𝑁=173なので、
1/2𝑁(𝑁+1)=15051
15051–15000=51
「破れたページ番号の合計」は51。
つまり、𝑥+（𝑥–1）=51𝑥=26
これならば{奇数ページ}の次に{偶数ページ}という順序とも矛盾しません。
解:破れたページは25ページ目と26ページ目
どうだったでしょうか。かなり手強い問題だったのではないでしょうか。
一見絶対解けないだろう問題を様々な数学的発想を利用して解くことができる。数学の楽しさはこういうことかもしれないと考えさせられる問題だったかもしれません。
今後も様々な数学の問題に触れたいましょう！
以上で終わります。ありがとうございました😊
